Los Ángulos

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un punto extremo común.

Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

1. Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
2. Grado centesimal
3. Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo	Figura	Descripción
Ángulo nulo		En geometría, el ángulo nulo es un ángulo que mide de 0°. Es un caso extremo en la definición de ángulos, dado que en realidad, las dos semirectas que forman el ángulo coinciden, no dejando ningún espacio entre ellas, también se puede decir que dos rectas paralelas forman entre si un ángulo nulo, cuyo vértice esta en el infinito.
Ángulo agudo		* Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad. * Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales
Ángulo recto		Un ángulo recto es de amplitud igual a rad Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice

Geometría

La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).

Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

Historia

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Tipos de geometría

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

1. Geometría euclidiana
2. Geometría plana
3. Geometría espacial
4. Geometría no euclidiana
5. Geometría riemanniana
6. Geometría analítica
7. Geometría diferencial
8. Geometría proyectiva
9. Geometría descriptiva
10. Geometría de incidencia
11. Geometría de dimensiones bajas
12. Geometría sagrada

Puntos, segmentos, rectas y planos

El PUNTO es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc.

El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.

Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico.

Determinación geométrica

Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:

En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).

En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ).

En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).

También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.

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SEGMENTO

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.

ó también

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Este es el Segmento AB

Tipos de segmentos

Segmento nulo: Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Ejemplo: Un punto

Segmentos consecutivos

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

Según pertenezcan o no a la misma línea, se clasifican en:

Colineales

No colineales: Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal o quebrada, pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman. Las poligonales cerradas forman polígonos.

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LA RECTA

En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

La Recta se nombra con una letra Minúscula o dos Mayúsculas y se lee la recta AB, la recta HG y la recta m.

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LA SEMIRECTA

La Semirecta se nombra con dos Mayúsculas y se lee la Semirecta AB, la Semirecta HG.

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PLANO

En geometría, un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego: Alfa (α), Beta (β), Theta (θ), Fi (φ) entre otras

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).